Objetivos de la Sesión
- Introducir la definición de distancias y espacios métricos (axiomas).
- Explorar ejemplos de distancias comunes en $\mathbb{R}^n$ ($d_1$, $d_2$, $d_\infty$) y la distancia discreta.
- Analizar contraejemplos de distancias que fallan ciertos axiomas.
- Estudiar la comparación y equivalencia de distancias en ciencia de datos.
- Visualizar las bolas unitarias correspondientes mediante dibujos en TikZ.
¿Qué es un Espacio Métrico?
Un espacio métrico es un par $(X, d)$ donde $X$ es un conjunto no vacío y $d: X \times X \to \mathbb{R}$ es una función (llamada métrica o distancia) que satisface para todo $x,y,z \in X$:
- No-negatividad: $d(x, y) \ge 0$.
- Identidad de los indiscernibles: $d(x, y) = 0 \iff x = y$.
- Simetría: $d(x, y) = d(y, x)$.
- Desigualdad triangular: $d(x, z) \le d(x, y) + d(y, z)$.
Interpretación del último axioma
La desigualdad triangular establece que el camino directo entre dos puntos siempre es menor o igual que cualquier ruta indirecta que pase por un punto intermedio $y$.
Este axioma es crucial para la estabilidad matemática y la justificación de algoritmos de agrupamiento y reducción dimensional.
Distancias Comunes en $\mathbb{R}^n$
Sean $x = (x_1, \dots, x_n)$ y $y = (y_1, \dots, y_n)$ puntos en $\mathbb{R}^n$.
- Distancia Euclidiana ($d_2$): $$d_2(x, y) = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}$$
- Distancia de Manhattan ($d_1$): $$d_1(x, y) = \sum_{i=1}^n |x_i - y_i|$$
- Distancia de Chebyshev ($d_\infty$): $$d_\infty(x, y) = \max_{1 \le i \le n} |x_i - y_i|$$
Bolas Unitarias en $\mathbb{R}^2$
Euclídea ($d_2$)
Manhattan ($d_1$)
Chebyshev ($d_\infty$)
La Métrica Discreta
Es una métrica que se puede definir sobre cualquier conjunto no vacío $X$, sin importar si tiene estructura geométrica o no.
Definición:
$$d_{\text{discreta}}(x, y) = \begin{cases} 0 & \text{si } x = y, \\ 1 & \text{si } x \neq y. \end{cases}$$Propiedades de la Métrica Discreta
- Es sumamente útil en topología para construir contraejemplos.
- Bolas en la métrica discreta: $$B(x, r) = \begin{cases} \{x\} & \text{si } r \le 1, \\ X & \text{si } r > 1. \end{cases}$$
Contraejemplos de Distancias
Funciones que parecen distancias pero violan alguno de los axiomas:
1. Semimétrica (violación de identidad):
$d(x, y) = (x_1 - y_1)^2$ en $\mathbb{R}^2$.
Falla: Si $x = (0,0)$ y $y = (0,1)$, $d(x,y) = 0$ pero $x \neq y$.
2. Cuasimétrica (violación de simetría):
$d(x, y) = \max(x - y, 0)$ en $\mathbb{R}$.
Falla: $d(2, 1) = 1$ pero $d(1, 2) = 0$.
Desigualdad Triangular Rota
3. Distancia al cuadrado (violación de desigualdad triangular):
$d(x, y) = (x - y)^2$ en $\mathbb{R}$.
Falla: Sean $x=0$, $y=1$, $z=2$.
Dado que $4 \not\le 2$, la desigualdad triangular no se cumple.
Comparación de Distancias
Dos métricas $d$ y $d'$ sobre el mismo conjunto $X$ se dicen topológicamente equivalentes o comparables si existen constantes positivas $C_1, C_2 > 0$ tales que para todo $x, y \in X$:
$$C_1 d'(x, y) \le d(x, y) \le C_2 d'(x, y)$$Si dos métricas son comparables, definen los mismos conjuntos abiertos, los mismos límites de secuencias y la misma estructura topológica.
Equivalencia en $\mathbb{R}^n$
Teorema: Todas las normas en espacios vectoriales de dimensión finita son equivalentes.
En particular, en $\mathbb{R}^n$, para las métricas $d_1$, $d_2$ y $d_\infty$ se cumple:
$$d_\infty(x, y) \le d_2(x, y) \le d_1(x, y) \le n d_\infty(x, y)$$Comparación Visual de Bolas Unitarias
