MA2007B: Use of Geometry and Topology for Data Science

Sesión 02: Puntos, vecindades y frontera

Cómo distinguir qué está dentro, qué está cerca y qué está en el borde

Prof. Alejandro Ucan-Puc

Tecnológico de Monterrey • 6º semestre • Ciencia de Datos y Matemáticas

Objetivos de la sesión

  • Introducir la noción de punto interior y punto frontera.
  • Definir vecindad abierta, vecindad cerrada y frontera de un conjunto.
  • Calcular estos conceptos en ejemplos de conjuntos en $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{R}^3$.
  • Usar la idea de cercanía para clasificar puntos y comprender la geometría del conjunto.

Motivación: clasificar por cercanía

En ciencia de datos, a menudo queremos responder preguntas como:

  • ¿Un punto está dentro de una clase?
  • ¿Está muy cerca del borde de un grupo?
  • ¿Qué tan “interior” es una observación respecto a un conjunto?

La respuesta depende de la vecindad del punto y del conjunto.

Si hay una bola completa alrededor del punto dentro del conjunto, el punto es interior. Si cualquier vecindad toca tanto el conjunto como su complemento, es frontera.

Idea geométrica: la bola y la cercanía

La noción central es la bola abierta de radio $\varepsilon$ centrada en $x$:

$$B_\varepsilon(x)=\{y\in \mathbb{R}^n: \|y-x\|<\varepsilon\}.$$< /p>

Una vecindad de $x$ es cualquier conjunto que contiene alguna bola $B_\varepsilon(x)$.

  • Si toda vecindad de $x$ intersecta al conjunto, entonces $x$ está cerca del conjunto.
  • Si hay una vecindad completamente contenida en el conjunto, entonces $x$ es interior.
  • Si toda vecindad intersecta al conjunto y a su complemento, entonces $x$ es frontera.

Punto interior y punto frontera

Punto interior de $A \subseteq \mathbb{R}^n$:

$$\exists\,\varepsilon>0\quad\text{t.q.}\quad B_\varepsilon(x)\subseteq A.$$

Entonces $x \in \operatorname{int}(A)$.

Punto frontera de $A$:

$$\forall\,\varepsilon>0,\quad B_\varepsilon(x)\cap A \neq \varnothing \;\text{y}\; B_\varepsilon(x)\cap A^c \neq \varnothing.$$

Entonces $x \in \partial A$.

La frontera es el conjunto de puntos que están "en el borde": ni completamente dentro ni completamente fuera.

Vecindad abierta y vecindad cerrada

Vecindad abierta de $x$:

$$V(x) = B_\varepsilon(x)$$

o más generalmente, un conjunto que contiene una bola abierta alrededor de $x$.

Vecindad cerrada de $x$:

$$\overline{B_\varepsilon(x)} = \{y:\|y-x\|\le \varepsilon\}.$$

Es la versión con borde incluido: incluye los puntos a distancia exactamente $\varepsilon$.

En palabras: la vecindad abierta “deja fuera” el borde; la vecindad cerrada lo incluye.

Ejemplo en $\mathbb{R}^2$: disco unitario

Sea $A=\{(x,y): x^2+y^2<1\}$.< /p>

  • $(0,0)$ es interior: existe una bola alrededor de él contenida en $A$.
  • $(1,0)$ es frontera: toda bola corta a $A$ y a su complemento.
  • $(0.5,0)$ también es interior.

Aquí,

$$\operatorname{int}(A)=A,$$

$$\partial A=\{(x,y):x^2+y^2=1\}.$$

La frontera es la circunferencia del disco.

Ejemplo en $\mathbb{R}^2$: semiplano

Considere $A=\{(x,y): y>0\}$.

  • Todo punto con $y>0$ es interior.
  • Los puntos con $y=0$ pertenecen a la frontera: cualquier vecindad corta el conjunto y el semiplano inferior.
  • Los puntos con $y<0$ están afuera del conjunto.

En este caso,

$$\operatorname{int}(A)=\{(x,y):y>0\}, \qquad \partial A=\{(x,0): x\in\mathbb{R}\}.$$

Ejemplo en $\mathbb{R}^3$: bola y superficie esférica

Sea $A=\{(x,y,z): x^2+y^2+z^2<1\}$.< /p>

  • El centro $(0,0,0)$ es interior.
  • Los puntos con $x^2+y^2+z^2=1$ forman la frontera.
  • La frontera es la esfera unitaria $S^2$.

$$\operatorname{int}(A)=A,$$

$$\partial A=\{(x,y,z): x^2+y^2+z^2=1\}.$$

La frontera separa el interior del exterior.

Relación con conjuntos cerrados y abiertos

Un conjunto $A$ es abierto si $A=\operatorname{int}(A)$, es decir, si todos sus puntos son interiores.

Un conjunto $A$ es cerrado si contiene a su frontera, es decir, si $\partial A\subseteq A$.

  • El disco abierto $(x^2+y^2<1)$ es abierto.
  • El disco cerrado $(x^2+y^2\le 1)$ es cerrado.
  • La frontera siempre es cerrada.

Visualización y práctica

Se recomienda usar representaciones dinámicas para hacer visible la idea de “estar dentro, estar afuera y estar en el borde”:

  • GeoGebra: Mover un punto y observar si su vecindad está contenida en el conjunto.
  • Desmos: Graficar discos, semiplanos y círculos para comparar interior y frontera.
  • Manim: Animar una bola de radio $\varepsilon$ que “encaja” o toca el borde (ver animación).

Pregunta guía: ¿Qué cambia si el conjunto es un disco, una corona circular, un semiplano o una esfera?

Visualización de $B_\varepsilon(x) \subseteq A$ y $B_\varepsilon(y) \cap A^c \neq \varnothing$

Resumen

  • Un punto es interior si hay una vecindad completamente contenida en el conjunto.
  • Un punto es de la frontera si toda vecindad toca el conjunto y su complemento.
  • La vecindad abierta no incluye el borde; la vecindad cerrada sí lo incluye.
  • Estas ideas permiten formalizar “cercanía”, “estar dentro”, “estar al borde” y “separar clases” en datos geométricos.

Fin de la sesión

Hemos introducido la geometría de la cercanía: interior, frontera y vecindades.

La próxima sesión profundiza la conexión entre topología, conjuntos y análisis de datos.