MA2007B: Use of Geometry and Topology for Data Science
Sesión 04: Introducción a la Topología General
Abstrayendo el concepto de cercanía
Prof. Alejandro Ucan-Puc
Tecnológico de Monterrey • Departamento de Matemáticas
Objetivos de la Sesión
- Aprender los axiomas que definen una topología general.
\n\t\t\t\t\t\t- Diferenciar entre espacios topológicos y espacios métricos.
\n\t\t\t\t\t\t- Definir conceptos fundamentales: interior, exterior y frontera.
Definición de Espacio Topológico
Un espacio topológico es un par $(X, \mathcal{T})$ donde $X$ es un conjunto y $\mathcal{T}$ es una colección de subconjuntos de $X$ (llamados conjuntos abiertos) que satisface:
- $\emptyset \in \mathcal{T}$ y $X \in \mathcal{T}$.
- La unión de cualquier colección de conjuntos en $\mathcal{T}$ está en $\mathcal{T}$.
- La intersección de cualquier colección finita de conjuntos en $\mathcal{T}$ está en $\mathcal{T}$.
Interior, Exterior y Frontera
Dado $A \subseteq X$ en un espacio topológico $(X, \mathcal{T})$:
- Interior ($ ext{Int}(A)$): La unión de todos los abiertos contenidos en $A$.
- Clausura ($\overline{A}$): La intersección de todos los cerrados que contienen a $A$.
- Frontera ($\partial A$): $\partial A = \overline{A} \setminus ext{Int}(A)$.
¿Por qué generalizar a Topología?
No todas las estructuras de datos tienen distancias bien definidas (por ejemplo, estructuras lógicas, jerárquicas o funcionales). La topología permite definir continuidad y límites sin necesidad de una métrica.
Fin de la Sesión
Hemos explorado los fundamentos de Introducción a la Topología General.
Continúa con los laboratorios correspondientes en la carpeta notebooks/.