MA2007B: Use of Geometry and Topology for Data Science

Sesión 05: Comparación de Topologías y Nuevos Espacios

Subespacios, productos y comparación

Prof. Alejandro Ucan-Puc

Tecnológico de Monterrey • Departamento de Matemáticas

Objetivos de la Sesión

  • Entender la relación de orden entre topologías (más fina vs. más gruesa).
    • \n\t\t\t\t\t\t
  • Definir la topología relativa (subespacio).
    • \n\t\t\t\t\t\t
  • Construir la topología producto.

Comparación de Topologías

Sean $\mathcal{T}_1$ y $\mathcal{T}_2$ dos topologías sobre el mismo conjunto $X$.

  • Si $\mathcal{T}_1 \subseteq \mathcal{T}_2$, decimos que $\mathcal{T}_1$ es más gruesa (o débil) que $\mathcal{T}_2$.
  • Decimos que $\mathcal{T}_2$ es más fina (o fuerte) que $\mathcal{T}_1$.

Topología Relativa (Subespacio)

Sea $(X, \mathcal{T})$ un espacio topológico y $Y \subseteq X$. La topología inducida (o relativa) sobre $Y$ es:

$$\mathcal{T}_Y = \{ U \cap Y \mid U \in \mathcal{T} \}$$

$(Y, \mathcal{T}_Y)$ es un espacio topológico por derecho propio.

Topología Producto

Dados dos espacios topológicos $(X, \mathcal{T}_X)$ y $(Y, \mathcal{T}_Y)$, construimos la topología producto en $X imes Y$ generada por conjuntos de la forma $U imes V$, donde $U \in \mathcal{T}_X$ y $V \in \mathcal{T}_Y$.

Fin de la Sesión

Hemos explorado los fundamentos de Comparación de Topologías y Nuevos Espacios.

Continúa con los laboratorios correspondientes en la carpeta notebooks/.