Comparando subconjuntos y espacios métricos completos
Prof. Alejandro Ucan-Puc
Sean $A, B$ subconjuntos cerrados y acotados de un espacio métrico $(X, d)$. La distancia de Hausdorff $d_H(A, B)$ es:
$$d_H(A, B) = \max \left\{ \sup_{a \in A} \inf_{b \in B} d(a, b), \sup_{b \in B} \inf_{a \in A} d(a, b) ight\}$$Mide qué tan lejos está el punto más alejado de un conjunto con respecto al otro.
¿Qué pasa si los dos espacios métricos $X$ y $Y$ no están contenidos en un espacio métrico común? La distancia de Gromov-Hausdorff busca el ínfimo de la distancia de Hausdorff sobre todos los encajes posibles de $X$ y $Y$ en un tercer espacio métrico común $Z$.
Estas distancias fundamentan matemáticamente la robustez de los algoritmos de TDA. Si dos nubes de puntos son cercanas en la distancia de Gromov-Hausdorff, sus propiedades topológicas reconstruidas serán similares.
Hemos explorado los fundamentos de Distancias de Hausdorff y Gromov-Hausdorff.
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