MA2007B: Use of Geometry and Topology for Data Science

Sesión 08: Funciones Continuas y Homeomorfismos

Deformaciones e isomorfismos topológicos

Prof. Alejandro Ucan-Puc

Tecnológico de Monterrey • Departamento de Matemáticas

Objetivos de la Sesión

  • Definir continuidad en el contexto topológico general.
    • \n\t\t\t\t\t\t
  • Comprender el concepto de homeomorfismo y equivalencia topológica.
    • \n\t\t\t\t\t\t
  • Identificar invariants topológicos.

Continuidad Topológica

Una función $f: X o Y$ entre espacios topológicos es continua si para todo abierto $V \subseteq Y$, su preimagen $f^{-1}(V)$ es abierta en $X$.

Esta definición generaliza la noción clásica de $\epsilon$-$\delta$ en cálculo métrico.

Homeomorfismos

Un homeomorfismo es una función biyectiva $f: X o Y$ tal que tanto $f$ como su inversa $f^{-1}$ son continuas.

Si existe un homeomorfismo entre $X$ y $Y$, decimos que son homeomorfos ($X \cong Y$). Comparten las mismas propiedades topológicas.

Invariantes Topológicos

Son propiedades que se preservan bajo homeomorfismos:

  • Conexidad.
  • Compacidad.
  • Grupos de homología (número de agujeros).

Fin de la Sesión

Hemos explorado los fundamentos de Funciones Continuas y Homeomorfismos.

Continúa con los laboratorios correspondientes en la carpeta notebooks/.