Una idea central es preguntarse si un espacio parece una sola pieza o si puede separarse en dos partes disjuntas.

Un espacio topológico $X$ es disconexo si se puede escribir como la unión disjunta de dos abiertos no vacíos. Un espacio es conexo si no es disconexo.

Equivalentemente, $X$ es conexo si y solo si toda función continua $f: X \to \{0,1\}$, donde $\{0,1\}$ tiene la topología discreta, es constante.

También equivale a decir que los únicos subconjuntos de $X$ que son simultáneamente abiertos y cerrados son $\varnothing$ y $X$.

Consideremos $X = \{1,2\}$.

• Si la topología es $\tau = \{\varnothing, \{1\}, \{2\}, X\}$ (discreta), entonces $X$ es disconexo, porque $\{1\}$ y $\{2\}$ son abiertos y no vacíos.
• Si la topología es $\tau = \{\varnothing, X\}$ (indiscreta), entonces $X$ es conexo, porque los únicos clopens son $\varnothing$ y $X$.

Esto muestra que la conexión depende de la topología, no únicamente del conjunto subyacente.

Un espacio $X$ es conexo por caminos si para cualesquiera dos puntos $x, y \in X$, existe una función continua $\gamma: [0, 1] \to X$ tal que $\gamma(0) = x$ y $\gamma(1) = y$.

Si $\{C_i\}_{i \in I}$ es una familia de subconjuntos conexos de $X$ y $\bigcap_{i \in I} C_i \neq \varnothing$, entonces $\bigcup_{i \in I} C_i$ es conexo.

La misma idea vale para arco-conexidad: si $A_i$ son arco-conexos y su intersección es no vacía, entonces $\bigcup_i A_i$ es arco-conexo.