MA2007B: Use of Geometry and Topology for Data Science

Sesión 10: Componentes Conexas y Clustering Topológico

Agrupamiento de datos mediante conexidad


Prof. Alejandro Ucan-Puc

Tecnológico de Monterrey • Departamento de Matemáticas

Objetivos de la Sesión

  • Definir componentes conexas en espacios topológicos.
  • \n\t\t\t\t\t\t
  • Conectar el agrupamiento jerárquico (Single-Linkage) con la conexidad métrica.
  • \n\t\t\t\t\t\t
  • Visualizar el dendrograma como un objeto topológico básico.

Componentes Conexas

Las componentes conexas de un espacio $X$ son los subconjuntos conexos maximales de $X$. Dividen al espacio en piezas disjuntas independientes.

En TDA, denotamos el número de componentes conexas de un espacio como el número de Betti $eta_0$.

Clustering Jerárquico Single-Linkage

Dada una nube de puntos, podemos unir puntos que están a una distancia menor a $\epsilon$.

Las componentes conexas del grafo resultante a umbral $\epsilon$ coinciden exactamente con los clusters de Single-Linkage Clustering en el nivel $\epsilon$.

Dendrogramas

El dendrograma representa la historia de fusiones de componentes conexas a medida que el umbral $\epsilon$ aumenta de 0 a $\infty$.

Fin de la Sesión

Hemos explorado los fundamentos de Componentes Conexas y Clustering Topológico.

Continúa con los laboratorios correspondientes en la carpeta notebooks/.