La generalización de conjuntos cerrados y acotados
Prof. Alejandro Ucan-Puc
Un espacio topológico $X$ es compacto si para todo cubrimiento abierto de $X$ (una colección de abiertos cuya unión contiene a $X$), existe un subcubrimiento finito.
Un subconjunto $K \subseteq \mathbb{R}^n$ es compacto si y sólo si es cerrado y acotado.
Nota: Esto no siempre se cumple en espacios métricos de dimensión infinita (como espacios de Hilbert).
Toda función continua real en un espacio compacto alcanza sus valores máximo y mínimo (Teorema de Weierstrass). Esto es clave para algoritmos de optimización en ML.
Hemos explorado los fundamentos de Compacidad y Teorema de Heine-Borel.
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