MA2007B: Use of Geometry and Topology for Data Science

Sesión 12: Teoremas de Continuidad, Compacidad y Separación

Propiedades fundamentales y axiomas de separación

Prof. Alejandro Ucan-Puc

Tecnológico de Monterrey • Departamento de Matemáticas

Objetivos de la Sesión

  • Analizar propiedades de continuidad sobre espacios compactos.
    • \n\t\t\t\t\t\t
  • Introducir los axiomas de separación (especialmente el espacio de Hausdorff T2).
    • \n\t\t\t\t\t\t
  • Aplicar estas propiedades a problemas de convergencia y unicidad.

El Valor Extremo y la Compacidad

Si $X$ es un espacio compacto y $f: X o \mathbb{R}$ es continua, entonces $f(X)$ es compacta. Por lo tanto, $f$ está acotada y alcanza su supremo e ínfimo.

Espacios de Hausdorff ($T_2$)

Un espacio $X$ es Hausdorff si para cada par de puntos distintos $x, y \in X$, existen abiertos $U, V$ disjuntos tales que $x \in U$ y $y \in V$.

Casi todos los espacios en ciencia de datos (espacios métricos) son Hausdorff.

Compuestos Compacto-Hausdorff

Si $K$ es compacto en un espacio Hausdorff $X$, entonces $K$ es cerrado. Además, si $f: X o Y$ es biyectiva y continua con $X$ compacto y $Y$ Hausdorff, entonces $f$ es un homeomorfismo.

Fin de la Sesión

Hemos explorado los fundamentos de Teoremas de Continuidad, Compacidad y Separación.

Continúa con los laboratorios correspondientes en la carpeta notebooks/.