MA2007B: Use of Geometry and Topology for Data Science

Sesión 13: Espacios Cociente y Variedades Topológicas

Pegando espacios y definiendo variedades locales

Prof. Alejandro Ucan-Puc

Tecnológico de Monterrey • Departamento de Matemáticas

Objetivos de la Sesión

  • Comprender la topología cociente.
    • \n\t\t\t\t\t\t
  • Visualizar construcciones clásicas: el toro y la cinta de Möbius.
    • \n\t\t\t\t\t\t
  • Definir variedades topológicas (manifolds) y su relevancia en el aprendizaje de variedades.

Topología Cociente

Sea $X$ un espacio topológico y $\sim$ una relación de equivalencia en $X$. El espacio cociente $X/\sim$ es el conjunto de clases de equivalencia con la topología donde $U \subseteq X/\sim$ es abierto si y sólo si su preimagen bajo la proyección canónica es abierta en $X$.

Variedades Topológicas (Manifolds)

Una variedad topológica de dimensión $d$ es un espacio Hausdorff con base numerable que es localmente homeomorfo a $\mathbb{R}^d$.

Manifold Learning: Asume que los datos de alta dimensión viven cerca de una variedad de baja dimensión (ej. UMAP, t-SNE).

Ejemplos de Pegado

  • Identificar los bordes opuestos de un cuadrado $ o$ Toro.
  • Identificar bordes con un giro de 180° $ o$ Cinta de Möbius.

Fin de la Sesión

Hemos explorado los fundamentos de Espacios Cociente y Variedades Topológicas.

Continúa con los laboratorios correspondientes en la carpeta notebooks/.