MA2007B: Use of Geometry and Topology for Data Science

Sesión 14: Homotopía y Grupo Fundamental

Deformando caminos de forma continua

Prof. Alejandro Ucan-Puc

Tecnológico de Monterrey • Departamento de Matemáticas

Objetivos de la Sesión

  • Definir homotopía de funciones y de caminos.
    • \n\t\t\t\t\t\t
  • Construir la estructura algebraica del grupo fundamental.
    • \n\t\t\t\t\t\t
  • Calcular el grupo fundamental de círculos y espacios simples.

Homotopía de Funciones

Una homotopía entre dos funciones continuas $f, g: X o Y$ es una función continua $H: X imes [0, 1] o Y$ tal que $H(x, 0) = f(x)$ y $H(x, 1) = g(x)$ para todo $x \in X$.

Representa una deformación continua de una función en otra.

El Grupo Fundamental $\pi_1(X, x_0)$

Consideramos lazos (caminos que empiezan y terminan en un punto base $x_0$). Las clases de equivalencia de lazos bajo homotopía forman un grupo bajo la operación de concatenación.

Ejemplo: $\pi_1(S^1) \cong \mathbb{Z}$ (el número de veces que le damos la vuelta al círculo).

Equivalencia de Homotopía

Dos espacios $X$ y $Y$ tienen el mismo tipo de homotopía si pueden deformarse el uno en el otro. Esto es una noción de equivalencia más débil (y fácil de calcular) que el homeomorfismo.

Fin de la Sesión

Hemos explorado los fundamentos de Homotopía y Grupo Fundamental.

Continúa con los laboratorios correspondientes en la carpeta notebooks/.