MA2007B: Use of Geometry and Topology for Data Science
Sesión 15: Complejos Simpliciales
Triangulando los datos
Prof. Alejandro Ucan-Puc
Tecnológico de Monterrey • Departamento de Matemáticas
Objetivos de la Sesión
- Definir símplices geométricos y complejos simpliciales abstractos.
\n\t\t\t\t\t\t- Aprender a construir complejos de Vietoris-Rips y complejos de Čech a partir de datos.
\n\t\t\t\t\t\t- Comparar complejos de Čech y Vietoris-Rips.
¿Qué es un Símplice?
La generalización de puntos, segmentos, triángulos y tetraedros en cualquier dimensión:
- 0-símplice: Punto (1 vértice).
- 1-símplice: Segmento (2 vértices).
- 2-símplice: Triángulo (3 vértices).
- 3-símplice: Tetraedro (4 vértices).
Complejo de Vietoris-Rips vs Čech
Dada una nube de puntos $X \subset \mathbb{R}^n$ y un radio $\epsilon > 0$:
- Complejo de Čech ($C_\epsilon(X)$): Contiene un símplice si las bolas de radio $\epsilon$ centradas en sus vértices tienen intersección común no vacía.
- Complejo de Vietoris-Rips ($VR_\epsilon(X)$): Contiene un símplice si la distancia entre todos sus vértices es menor a $2\epsilon$.
VR es más fácil de calcular, pero Čech conserva mejor el tipo de homotopía (Teorema del Nervio).
Filtración
A medida que aumentamos $\epsilon$, el complejo simplicial crece, dándonos una secuencia de complejos anidados: $K_{\epsilon_1} \subseteq K_{\epsilon_2} \subseteq \dots \subseteq K_{\epsilon_m}$.
Fin de la Sesión
Hemos explorado los fundamentos de Complejos Simpliciales.
Continúa con los laboratorios correspondientes en la carpeta notebooks/.