MA2007B: Use of Geometry and Topology for Data Science

Sesión 16: Cadenas Simpliciales y Operador Frontera

La estructura algebraica de la forma

Prof. Alejandro Ucan-Puc

Tecnológico de Monterrey • Departamento de Matemáticas

Objetivos de la Sesión

  • Definir el grupo de k-cadenas sobre un complejo simplicial.
    • \n\t\t\t\t\t\t
  • Introducir formalmente el mapa o mapa frontera.
    • \n\t\t\t\t\t\t
  • Demostrar analíticamente que la frontera de una frontera es cero.

Grupos de Cadenas $C_k(K)$

Dado un complejo simplicial $K$, una $k$-cadena es una combinación lineal formal de los $k$-símplices en $K$ con coeficientes en un campo (usualmente $\mathbb{Z}_2$).

$$c = \sum a_i \sigma_i, \quad a_i \in \mathbb{Z}_2$$

$C_k(K)$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb{Z}_2$ donde la base son los $k$-símplices.

Operador Frontera $\partial_k$

El mapa frontera $\partial_k: C_k(K) o C_{k-1}(K)$ se define en cada símplice orientado $\sigma = [v_0, v_1, \dots, v_k]$ como:

$$\partial_k([v_0, \dots, v_k]) = \sum_{i=0}^k (-1)^i [v_0, \dots, \hat{v}_i, \dots, v_k]$$

Donde $\hat{v}_i$ significa omitir el vértice $v_i$. (En $\mathbb{Z}_2$, los signos no importan).

El Teorema Fundamental de la Homología

Teorema: $\partial_{k-1} \circ \partial_k = 0$.

Es decir, la frontera de cualquier frontera está vacía. Esto permite definir la homología analíticamente.

Fin de la Sesión

Hemos explorado los fundamentos de Cadenas Simpliciales y Operador Frontera.

Continúa con los laboratorios correspondientes en la carpeta notebooks/.