MA2007B: Use of Geometry and Topology for Data Science
Sesión 17: Ciclos, Bordes y Espacios de Homología
Definiendo matemáticamente los agujeros
Prof. Alejandro Ucan-Puc
Tecnológico de Monterrey • Departamento de Matemáticas
Objetivos de la Sesión
- Definir el grupo de ciclos Z_k y el grupo de bordes B_k.
\n\t\t\t\t\t\t- Construir el grupo de homología H_k como el cociente Z_k / B_k.
\n\t\t\t\t\t\t- Aprender a calcular los números de Betti.
Ciclos y Bordes
Debido a que $\partial_{k-1} \circ \partial_k = 0$, el espacio de bordes es un subespacio del espacio de ciclos:
- $k$-ciclos ($Z_k(K)$): Cadenas sin frontera: $\ker(\partial_k)$.
- $k$-bordes ($B_k(K)$): Cadenas que son frontera de algo: $ ext{Im}(\partial_{k+1})$.
$B_k(K) \subseteq Z_k(K)$.
Grupo de Homología $H_k(K)$
El $k$-ésimo grupo de homología de $K$ es el espacio cociente:
$$H_k(K) = Z_k(K) / B_k(K)$$
Los elementos de $H_k$ son clases de equivalencia de ciclos. Dos ciclos son homólogos si difieren por un borde.
Números de Betti $eta_k$
$eta_k = \dim H_k(K)$ mide el número de "agujeros" de dimensión $k$:
- $eta_0$: Componentes conexas.
- $eta_1$: Bucles / túneles 1D.
- $eta_2$: Cavidades tridimensionales.
Fin de la Sesión
Hemos explorado los fundamentos de Ciclos, Bordes y Espacios de Homología.
Continúa con los laboratorios correspondientes en la carpeta notebooks/.