MA2007B: Use of Geometry and Topology for Data Science

Sesión 18: Homología Singular vs. Simplicial

Dos caminos hacia el mismo destino topológico

Prof. Alejandro Ucan-Puc

Tecnológico de Monterrey • Departamento de Matemáticas

Objetivos de la Sesión

  • Entender los conceptos básicos de la homología singular.
    • \n\t\t\t\t\t\t
  • Comparar la simplicidad de cómputo simplicial con la generalidad de la singular.
    • \n\t\t\t\t\t\t
  • Enunciar el teorema de equivalencia entre ambas homologías.

Homología Singular

En lugar de complejos simpliciales triangulados, la homología singular usa mapeos continuos desde símplices estándar $\Delta^k$ hacia cualquier espacio topológico $X$.

Una $k$-cadena singular es una suma de mapas continuos $\sigma_i: \Delta^k o X$.

Comparativa Teórica

Característica Simplicial Singular
Cómputo Algorítmico, matricial finito Teórico, infinitamente dimensional
Definición Solo en complejos simpliciales En cualquier espacio topológico
Cadenas Símplices del complejo Mapas continuos continuos

El Teorema de Equivalencia

Si un espacio topológico $X$ es triangulable (homeomorfo al soporte de un complejo simplicial $K$), entonces sus grupos de homología simplicial $H_k(K)$ son isomorfos a sus grupos de homología singular $H_k(X)$.

Fin de la Sesión

Hemos explorado los fundamentos de Homología Singular vs. Simplicial.

Continúa con los laboratorios correspondientes en la carpeta notebooks/.