MA2007B: Use of Geometry and Topology for Data Science

Sesión 19: Reconstrucción de la Topología de Datos

Del conjunto discreto a la topología continua

Prof. Alejandro Ucan-Puc

Tecnológico de Monterrey • Departamento de Matemáticas

Objetivos de la Sesión

  • Aprender las garantías teóricas para la reconstrucción topológica.
    • \n\t\t\t\t\t\t
  • Enunciar el Teorema del Nervio.
    • \n\t\t\t\t\t\t
  • Comprender las limitaciones físicas impuestas por el muestreo y el ruido.

El Teorema del Nervio

Sea $\mathcal{U} = \{U_i\}$ un cubrimiento abierto de un espacio topológico $X$ tal que toda intersección no vacía de elementos de $\mathcal{U}$ es contractible. Entonces, el Nervio de $\mathcal{U}$ es homotopicamente equivalente a $X$.

Este teorema fundamenta por qué podemos usar intersecciones de bolas para reconstruir la topología de los datos.

Reconstrucción de Soporte

Si los datos están muestreados de una variedad compacta $M \subset \mathbb{R}^n$, y el ruido es pequeño en la distancia de Hausdorff, existe un radio de bola $\epsilon$ tal que el complejo de Čech de los datos reconstruye exactamente el tipo de homotopía de $M$.

Limitaciones Prácticas

  • ¿Cómo elegir el radio $\epsilon$ óptimo en la práctica?
  • ¿Cómo distinguir las características topológicas reales del ruido?

La respuesta es: Homología Persistente.

Fin de la Sesión

Hemos explorado los fundamentos de Reconstrucción de la Topología de Datos.

Continúa con los laboratorios correspondientes en la carpeta notebooks/.