MA2007B: Use of Geometry and Topology for Data Science

Sesión 22: Estabilidad y Comparación en TDA

Robustez matemática frente a perturbaciones

Prof. Alejandro Ucan-Puc

Tecnológico de Monterrey • Departamento de Matemáticas

Objetivos de la Sesión

  • Aprender métricas de comparación: Bottleneck y Wasserstein.
    • \n\t\t\t\t\t\t
  • Enunciar el Teorema de Estabilidad de Cohen-Steiner.
    • \n\t\t\t\t\t\t
  • Comprender por qué el ruido no destruye la información topológica.

Distancia Bottleneck ($d_B$)

Sean $D_1, D_2$ dos diagramas de persistencia. La distancia Bottleneck es la distancia máxima entre puntos emparejados en una correspondencia óptima, incluyendo emparejamientos con la diagonal:

$$d_B(D_1, D_2) = \inf_{\eta} \sup_{x \in D_1} ||x - \eta(x)||_\infty$$

El Teorema de Estabilidad

Teorema fundamental (Cohen-Steiner et al.): Dado un espacio métrico y dos funciones continuas $f, g: X o \mathbb{R}$, las distancias entre sus diagramas correspondientes están acotadas:

$$d_B(D(f), D(g)) \le ||f - g||_\infty$$

Si los datos sufren pequeñas perturbaciones métricas, los diagramas resultantes solo sufrirán perturbaciones menores.

Distancia de Wasserstein

Generaliza la distancia Bottleneck sumando los costos de transporte de todos los puntos del diagrama (similar al problema de transporte óptimo / Earth Mover's Distance).

Fin de la Sesión

Hemos explorado los fundamentos de Estabilidad y Comparación en TDA.

Continúa con los laboratorios correspondientes en la carpeta notebooks/.