MA2007B: Use of Geometry and Topology for Data Science

Sesión 23: Reconstrucción de Espacios de Fase

El Teorema de Takens y series de tiempo topológicas

Prof. Alejandro Ucan-Puc

Tecnológico de Monterrey • Departamento de Matemáticas

Objetivos de la Sesión

  • Comprender el encaje por retardos (delay embeddings) de series temporales.
    • \n\t\t\t\t\t\t
  • Enunciar el Teorema de Takens.
    • \n\t\t\t\t\t\t
  • Analizar dinámicas de sistemas mediante homología persistente.

Series Temporales y Sistemas Dinámicos

A menudo solo observamos una única variable física a lo largo del tiempo. ¿Cómo podemos reconstruir el comportamiento completo del sistema dinámico original?

Incrustación por Retardo (Delay Embedding)

Dada una serie de tiempo $x(t)$, definimos un vector en dimensión $d$ usando un retardo temporal $ au$:

$$X(t) = (x(t), x(t- au), x(t-2 au), \dots, x(t-(d-1) au))$$

Esto genera una nube de puntos continua en $\mathbb{R}^d$.

Teorema de Takens

Si la dinámica real vive en una variedad atractora de dimensión $m$, entonces para una dimensión de encaje $d > 2m$, el mapa de retardo es casi seguro un encaje topológico. La homología de la nube de puntos reconstruida conserva la topología del atractor original.

Fin de la Sesión

Hemos explorado los fundamentos de Reconstrucción de Espacios de Fase.

Continúa con los laboratorios correspondientes en la carpeta notebooks/.