MA2007B: Use of Geometry and Topology for Data Science
Sesión 24: Reducción de Dimensionalidad Topológica
Geometría e invariantes locales en Isomap, t-SNE y UMAP
Prof. Alejandro Ucan-Puc
Tecnológico de Monterrey • Departamento de Matemáticas
Objetivos de la Sesión
- Estudiar Isomap y su preservación de distancias geodésicas.
\n\t\t\t\t\t\t- Analizar t-SNE y la similitud de distribuciones de probabilidad locales.
\n\t\t\t\t\t\t- Comprender el funcionamiento de UMAP fundamentado en geometría Riemanniana local.
De PCA a Algoritmos Topológicos
PCA asume una estructura lineal global. Si los datos están curvados (como la variedad del rollo suizo), PCA falla. Los algoritmos no lineales intentan preservar relaciones de vecindad locales.
Isomap y distancias geodésicas
Isomap estima la distancia geodésica (la distancia a lo largo de la superficie de la variedad) construyendo un grafo de vecinos y calculando los caminos más cortos.
UMAP (Uniform Manifold Approximation)
Basado en geometría simpléctica y topología algebraica:
- Asume que los datos están distribuidos uniformemente en una variedad Riemanniana local.
- Construye una representación de difracción difusa mediante complejos simpliciales ponderados.
- Optimiza la proyección de baja dimensión minimizando la entropía cruzada difusa.
Fin de la Sesión
Hemos explorado los fundamentos de Reducción de Dimensionalidad Topológica.
Continúa con los laboratorios correspondientes en la carpeta notebooks/.