Diapositivas Teóricas
MA2007B • 26 Sesiones en Reveal.js
Intro a Topología para Data Science
Motivación de la topología en análisis de formas, nubes de puntos y espacio de datos.
Espacios Métricos para Data Science
Distancias normadas, pseudométricas y representación métrica de conjuntos de datos.
Espacios Métricos y Geometría
Bolas abiertas, cerradas, vecindades y geometría de datos de alta dimensión.
Introducción a Topología General
Axiomas de la topología general, conjuntos abiertos, cerrados e interior/frontera.
Comparación de Topologías
Topologías más finas/gruesas, topología producto y topología relativa.
Grafos como Espacios Métricos
Métrica de camino más corto en grafos, matrices de adyacencia y distancia en redes.
Hausdorff y Gromov-Hausdorff
Métrica de Hausdorff entre subconjuntos y distancia de Gromov-Hausdorff entre espacios.
Funciones Continuas y Homeomorfismos
Continuidad topológica, preimágenes de abiertos y equivalencia topológica (homeomorfismos).
Conexidad y Arco-Conexidad
Separaciones topológicas, caminos continuos y preservación bajo funciones continuas.
Componentes Conexas
Componentes conexas en datos, Single-Linkage Clustering y conectividad topológica.
Compacidad y Heine-Borel
Cubrimientos abiertos, subcubrimientos finitos y Teorema de Heine-Borel en $\mathbb{R}^n$.
Teoremas de Continuidad
Teorema del Valor Extremo, Teorema del Valor Intermedio y propiedades de separación Hausdorff.
Espacios Cociente
Relaciones de equivalencia, pegado topológico, toros, cinta de Möbius y variedades.
Homotopía y Grupo Fundamental
Deformaciones continuas de caminos, lazos, equivalencia homotópica y el grupo $\pi_1(X)$.
Complejos Simpliciales
Simplices, caras, complejos abstractos, filtración Vietoris-Rips y complejos de Čech.
Cadenas y Operador Frontera
Grupos de $k$-cadenas $C_k$, mapas de frontera $\partial_k$ y el teorema fundamental $\partial_{k-1} \circ \partial_k = 0$.
Ciclos y Espacios de Homología
Ciclos $Z_k$, bordes $B_k$, grupos de homología $H_k = Z_k / B_k$ y números de Betti $\beta_k$.
Homología Singular vs Simplicial
Teorema de isomorfismo entre homología simplicial y singular para espacios triangulables.
Reconstrucción de la Topología
Teorema del Nervio de Leray, lema de homotopía y reconstrucción topológica desde muestras.
Homología Persistente TDA
Filtraciones multiescala, nacimiento y muerte de clases de homología y diagramas de persistencia.
Representaciones Vectoriales
Persistence Landscapes, Persistence Images y Siluetas para modelos de Machine Learning.
Estabilidad y Comparación en TDA
Distancia Bottleneck, métrica de Wasserstein y Teorema de Estabilidad de Persistencia.
Reconstrucción de Espacios de Fase
Teorema de Incrustación de Takens, retardo temporal y atractores dinámicos.
Reducción Topológica de Dimensionalidad
Aprendizaje de variedades (Isomap, LLE, Laplacian Eigenmaps, t-SNE, UMAP).
Algoritmo Mapper y Multiescala
Funciones de filtro, cubrimientos de espacios de datos, clustering y grafo simplicial Mapper.
Aprendizaje Profundo Topológico
Capa de homología persistente diferenciable, Graph Neural Networks y TDA en Deep Learning.
Tutoriales de Laboratorio en Python
MA2007B • 8 Notebooks Prácticos de TDA
Filtraciones Simpliciales
Construcción práctica de filtraciones Vietoris-Rips y Alfa en Python con Gudhi/Giotto.
Homología Persistente
Cálculo de diagramas y códigos de barras de persistencia con Ripser y Scikit-TDA.
Vectorización Topológica
Generación de Persistence Landscapes, Persistence Images y Siluetas en Giotto-TDA.
Métricas Topológicas
Cálculo numérico de distancias Bottleneck y $p$-Wasserstein entre diagramas de persistencia.
Incrustación de Takens
Reconstrucción de atractores dinámicos y atractor de Lorenz a partir de series de tiempo unilaterales.
Reducción de Dimensionalidad
Comparación práctica de Isomap, t-SNE y UMAP en conjuntos de datos complejos.
Algoritmo Mapper
Generación interactiva de grafos de simplitud Mapper usando KeplerMapper y Giotto-TDA.
Topological Deep Learning
Integración de capas de homología persistente con PyTorch y Graph Neural Networks.